1.Կարո՞ղ է արդյոք միայն չորսերից բաղկացած թիվը բաժանվել միայն երեքներից բաղկացած թվի: Իսկ հակառա՞կը:
ա) Այո, օրինակ՝ 44444-ը բաժանվում է 3-ի:
բ) Ոչ, քանի որ միայն 3-ներից բաղկացած թիվը կենտ է և չի կարող բաժանվել զույգ թվի, իսկ 4-երից բաղկացած թիվը ակնհայտորեն զույգ է։
2.Հնարավո՞ր է արդյոք ձիով սկսելով շախմատի տախտակի որևէ վանդակից
ա) անելով 19 քայլ վերադառնալ նույն վանդակին։
բ) անելով 20 քայլ հայտնվել սկզբնական վանդակի հարևան վանդակում (հարևան են համարվում ընհանուր կողմ ունեցող վանդակները):
Ձին ամեն քայլից հետո հայտնվում է հակառակ գույի վանդակում։ Սկսելով որևէ վանդակից, 19 քայլ հետո նա հայտնվելու է հակառակ գույնի վանդակի վրա, քանի որ 19-ը կենտ թիվ է, այսինքն չի կարող հայտնվել սկզբնական վանդակում։
Իսկ 20-րդ քայլին նա հայտնվելու է իր սկզբնական վանդակի գույնն ունեցող վանդակի վրա, քանի որ 20-ը զույգ է։ Իսկ սկզբնական վանդակի հարևան վանդակները սկզբնական վանդակի հակառակ գույնն ունեն, ուստի բ)-ն ևս հնարավոր չէ։
Պատասխան՝ ա) Ոչ բ) Ոչ
3.Հնարավո՞ր է արդյոք սկսելով a1 վանդակից՝ ձիու քայլերով հասնել h8 վանդակին, յուրաքանչյուր վանդակում լինելով ճիշտ մեկ անգամ։
Գիտենք, որ ձին ամեն քայլից հետո փոխում է վանդակի գույնը։ Ամեն անգամ սև վանդակից նա անցնում է սպիտակ վանդակի, այնուհետև կրկին հայտնվում սև վանդակում: Հետևաբար, եթե չհաշվենք a1 վանդակը, ապա ամեն անգամ որևէ սև վանդակում հայտնվելիս նա անցած է լինում միևնույն քանակությամբ սև և սպիտակ վանդակներով։ Եթե չհաշվենք a1 վանդակը, ապա տախտակի վրա կա 31 հատ սև և 32 հատ սպիտակ վանդակ, ընդ որում՝ h8-ը սև վանդակ է։ Հետևաբար, եթե ձին կարողանար որևէ կերպ մեկական անգամ անցնել բոլոր վանդակներով և հայտնվել h8 սև վանդակում, ապա նա պետք է անցած լիներ միևնույն քանայությամբ սև և սպիտակ վանդակներով։ Սակայն վանդակների քանակը հավասար չէ (համապատասխանաբար՝ 31 և 32 է): Ուստի նման «ճամփորդություն» հնարավոր չէ:
Պատասխան՝ հնարավոր չէ:
4.Այգում իրար կողք աճում են 4 խնձորենիներ։ Ցանկացած 2 իրար կողք գտնվող խնձորենիներից մեկի խնձորների քանակը մյուսինից շատ է 1-ով։ Կարո՞ղ է արդյոք այդ 4 խնձորենիների վրա միասին լինել 2023 խնձոր։
Քանի որ երկու հարևան խնձորենիների խնձորների քանակը տարբերվում են 1-ով, ապա դրանցից մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ։ Այդպիսով, 4 խնձորենիներից 2 հատի խնձորենրի քանակը կլինի զույգ, 2 հատինը՝ կենտ, և այդ 4 թվերի գումարը կստացվի զույգ թիվ, ուստի չի կարող լինել 2023։
Պատասխան՝ Ոչ։
5.Գտնել երկու այնպիսի պարզ թիվ, որոնց և՛ գումարը, և՛ տարբերությունը նույնպես պարզ թվեր են:
Այդպիսի թվեր փնտրելիս նախ ապացուցենք, որ նրանցից մեկը հավասար է 2-ի։ Եթե այդ երկու թվերն էլ լինեն կենտ, ապա նրանց գումարը կլինի զույգ և մեծ 2-ից, այսինքն՝ պարզ լինել չեն կարող: Հետևաբար, այդ երկու թվերից մեկը զույգ է, ուստի հավասար է միակ զույգ պարզ թվին՝ այսինքն՝ 2-ի: Հեշտ է նկատել, որ 2 և 5 թվազույգը բավարարում է խնդրի պայմանին:
Այժմ ապացուցենք, որ նման հատկությամբ թվերի այլ զույգ չկա: Կատարենք հակասող ենթադրություն՝ համարելով, որ 5-ից բացի խնդրի պայմանին բավարարող այլ թիվ էլ կա: Այդ թիվը նշանակենք a-ով: Համաձայն խնդրի պայմանի՝ ունենք, որ a−2, և a+2 թվերը պարզ են: Համոզվեք ինքներդ, որ այս երեք թվերից որևէ մեկը բաժանվում է 3-ի, այսինքն՝ պարզ լինելու համար այն պետք է հավասար լինի 3-ի: Դիտարկելով բոլոր հնարավոր դեպքերը՝ համոզվում ենք, որ a=5:
Պատասխան՝ 2 և 5
6.Արմենը գնեց 100-թերթանի տետր և նրա բոլոր էջերը համարակալեց 1-ից մինչև 200: Խաչիկը տետրից պոկեց 26 թերթ և գումարեց այդ թերթերի վրա գրված բոլոր թվերը: Կարո՞ղ է արդյոք գումարման արդյունքում Խաչիկը ստանալ 2015:
Նկատենք, որ յուրաքանչյուր թերթի վրա գրված է երկու թիվ, որոնցից մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ։ Հետևաբար, ամեն թերթի վրա գրված թվերի գումարը կլինի կենտ թիվ: Խաչիկը պոկել է 26 թերթ, ուստի դրանց վրա գրված թվերի գումարը հաշվելու համար նա պետք է 26 անգամ կենտ թիվ գումարի: Քանի որ զույգ քանակությամբ կենտ թվերի գումարը զույգ է, հետևաբար այն չի կարող հավասար լինել 2015-ի:
Պատասխան՝ չի կարող:
Գառնիկ Բարսեղյան 