Ընտրություն

1. Պարզել a և b բնական թվերի զույգ կամ կենտ լինելու բոլոր հնարավոր դեպքերը, եթե հայտնի է, որ նրանց

1. գումարը զույգ է,
2. գումարը կենտ է,
3. արտադրյալը կենտ է,
4. արտադրյալը զույգ է:
   
   i.  Եթե a-ն զույգ է, ապա b-ն նույնպես պետք է զույգ լինի, և համապատասխանաբար՝ եթե a-ն կենտ է, ապա կենտ է նաև b-ն։ Այսպիսով a և b թվերն ունեն միևնույն զույգությունը:
   ii.  a և b թվերն ունեն տարբեր զույգություն, այսինքն՝ նրանցից մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ:
   iii. a և b թվերը կենտ են:
   iv. a և b թվերից գոնե մեկը զույգ է:
   
   2.Երկու բնական թվերի արտադրյալը բազմապատկում են այդ թվերի տարբերությամբ: Կարո՞ղ է արդյոք արդյունքում ստացվել 29657143։
   
   Ենթադրենք, թե այդպիսի a և b թվեր գոյություն ունեն, այսինքն՝
   ab(a−b)=29657143::Քանի որ 29657143 կենտ թիվ է, ապա a, b և a−b թվերը կենտ են, ինչը, սակայն, անհնար է, քանի որ՝ եթե a-ն և b-ն կենտ են, ապա a−b-ն կլինի զույգ։ Հետևաբար, այդպիսի a և b թվերի գոյության մասին մեր ենթադրությունը սխալ էր:
   
   3.Հնարավո՞ր է արդյոք 8×8 չափանի տախտակը ծածկել 1×2 չափի դոմինոներով:
   
   

4.Հնարավո՞ր է արդյոք 5×5 չափանի տախտակը ծածկել 1×2 չափի դոմինոներով այնպես, որ ոչ մի վանդակ չծածկվի մեկից ավելի դոմինոյով:

5×5 չափանի շախմատի տախտակն ունի 5⋅5=25 վանդակ, այսինքն՝ կենտ քանակությամբ վանդակ: Ամեն անգամ տախտակին դոմինո դնելիս ազատ վանդակների թիվը կնվազի 2-ով, այսինքն՝ վանակների քանակը կրկին կմնա կենտ: Շախմատի տախտակն ամբողջությամբ ծածկելու համար ազատ վանդակների քանակը պետք է հավասար լինի 0-ի, որը զույգ է: Հետևաբար, տախտակը հնարավոր չէ ծածկել ըստ պահանջվածի։

Պատասխան՝ ոչ:

5.7ա և 7բ դասարաններում սովորում է միևնույն քանակությամբ աշակերտ: Երկու դասարաններում միաժամանակ անց կացված հարցման արդյունքում պարզվեց, որ 7-րդ դասարանցիների մեջ ֆուտբոլ սիրողների քանակը 15-ով մեծ է ֆուտբոլ չսիրողների քանակից: Ապացուցել, որ ոչ բոլոր աշակերտներն են մասնակցել հարցմանը:

1-ին եղանակ —   Քանի որ 15-ը կենտ թիվ է, հետևաբար ֆուտբոլ սիրողների և չսիրողների քանակություններն ունեն տարբեր զույգություններ, այսինքն՝ նրանցից մեկը զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ: Սա նշանակում է, որ ֆուտբոլ սիրողների և չսիրողների քանակների գումարը կլինի կենտ թիվ: Սակայն աշակերտների ընդհանուր քանակը զույգ է, ուստի նրանցից ոմանք չեն մասնակցել հարցմանը։

2-րդ եղանակ —   Ենթադրենք, որ բոլոր աշակերտներն էլ մասնակցել են հարցմանը: Նկատենք, որ ֆուտբոլ սիրողների և չսիրողների քանակի գումարը և տարբերությունը պետք է ունենա միևնույն զույգությունը. սակայն նրանց գումարը զույգ թիվ է (աշակերտների ընդհանուր քանակն է), իսկ տարբերությունը՝ կենտ (15): Նման բան հնարավոր չէ, հետևաբար՝ որոշ աշակերտներ չեն մասնակցել հարցմանը:

6. Գրատախտակին գրված է 101 ամբողջ թիվ: Ապացուցել, որ թվերի այդ շարքից կարելի է ջնջել մեկ թիվ այնպես, որ մնացած թվերի գումարը լինի զույգ թիվ: Ճի՞շտ է արդյոք նույն պնդումը 100 թվի դեպքում:

Դիտարկենք երկու դեպք.
ա) բոլոր 101 թվերի գումարը կենտ է: Այդ դեպքում նրանց մեջ կա կենտ թիվ: Եթե ջնջենք այդ կենտ թիվը, ապա մնացած թվերի գումարը կդառնա զույգ:
բ) բոլոր 101 թվերի գումարը զույգ է: Նկատենք, որ բոլոր թվերը միաժամանակ կենտ լինել չեն կարող, որովհետև այդ դեպքում նրանց գումարը կլիներ կենտ: Հետևաբար, նրանց մեջ կա զույգ թիվ: Եթե ջնջենք այդ զույգ թիվը, ապա մնացած թվերի գումարը կլինի զույգ:

Այժմ դիտարկենք 100 թվի դեպքը: Այս դեպքում խնդրի պնդումը սխալ է. օրինակի համար դիտարկենք այն դեպքը, երբ բոլոր թվերը 1 են: Ցանկացած թիվ ջնջելու դեպքում մնացած թվերի գումարը հավասար կլինի 99, այսինքն զույգ չի լինի:

7.22 հատ ամբողջ թվերի արտադրյալը հավասար է 1: Ապացուցել, որ նրանց գումարը չի կարող 0 լինել:

Եթե ամբողջ թվերի արտադրյալը հավասար է 11 ուրեմն այդ թվերը հավասար են +1 կամ −1, ընդ որում −1-երի քանակը զույգ է: Այդ թվերի գումարի 0 լինելու համար պետք է նրանցից 11 հատը լինեն 1 և 11 հատը լինեն −1: Սակայն 11 կենտ թիվ է, հետևաբար այդ քանակությամբ −1 չի կարող լինել: